Question

（本小題12分）
過橢圓的一個焦點且垂直于軸的直線交橢圓于點。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點的直線與橢圓交于兩點、，使得（其中為弦的中點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為
（Ⅱ）滿足條件的直線存在，方程為

21．本小題主要考查直線、橢圓、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．滿分12分。
解：（I）依題意，得
．                                     ………………………2分
解得，．
橢圓的方程為．                        ………………………4分
（注：本小題從橢圓定義求解亦可）
（II）設滿足條件的直線存在，方程為（必存在），代入橢圓方程，得
．                       ………………………5分
首先，得．                          ……………………6分
設，，則．……………………7分
為的中點，且，
．                                         ……………………8分

    
 

，滿足．   ……………………11分
滿足條件的直線存在，方程為．           ……………………12分
（注：考生對采用其它方法轉化，可參照給分）