Question

如圖，在四棱錐中，側棱底面，底面為矩形，，為的上一點，且，為PC的中點.

（Ⅰ）求證：平面AEC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）利用直線的向量與平面的法向量垂直證明線面平行，（Ⅱ）

試題分析：建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，
，

（Ⅰ）設平面AEC的一個法向量為，∵，∴
由得，令，得,又
∴，，平面AEC∴平面AEC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為，
又為平面ACD的法向量，而，
故二面角的余弦值為
點評：立體幾何問題主要是探求和證明空間幾何體中的平行和垂直關系以及空間角、體積等計算問題．對于平行和垂直問題的證明或探求，其關鍵是把線線、線面、面面之間的關系進行靈活的轉化．在尋找解題思路時，不妨采用分析法，從要求證的結論逐步逆推到已知條件．