Question

已知函數，設曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數，滿足．

（1）求；

（2）設，，求函數在上的最大值；

（3）設，若對于一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ；（3）．

【解析】

試題分析：（1）三次函數的導數是二次函數，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導數的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2），畫出函數圖象考察其單調性，根據其單調區間對的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進行化簡，得恒成立，即，且，對任意的成立，然后又轉化為求函數的最值問題，要注意，從而有.

試題解析：（1），∵，

∴函數的圖象關于直線對稱，，       2分

∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為，

∴，解得，則        5分

（2）∵，

∴，其圖象如圖           7分

當時，，

當時，，

當時，，

綜上                 10分

（3），，

當時，，所以不等式等價于恒成立，

解得，且，                      13分

由，得，，所以，

又，∵ ，∴所求的實數的的取值范圍是    16分

考點：函數與導數、曲線的切線、不等式恒成立問題.