Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為

，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足．

（1）求；

（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；

（3）設(shè)，若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1），                       ………………………………1分

，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則．……2分

直線與軸的交點(diǎn)為，

，且，

即，且，

解得，．                       …………………………………………4分

則．                 …………………………………………5分

（2），

 

 

 

     ………………………………………7分

其圖像如圖所示．

當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖像得：

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，最大值為；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，最大值為；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，最大值為．    …………………………………10分

（3）方法一：，

，，

當(dāng)時(shí)，，

不等式恒成立等價(jià)于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

當(dāng)時(shí)，，，

，                            ……………………………………………12分

又當(dāng)時(shí)，由恒成立，得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．              …………………………………14分

 

 

 

方法二：（數(shù)形結(jié)合法）作出函數(shù)的圖像，其圖像為線段（如圖），

的圖像過(guò)點(diǎn)時(shí)，或，

要使不等式對(duì)恒成立，

必須，     …………………………………12分

又當(dāng)函數(shù)有意義時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，由恒成立，得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．              …………………………………14分

方法三：， 的定義域是，

要使恒有意義，必須恒成立，

，，即或． ………………①       …………………12分

由得，

即對(duì)恒成立，

令，的對(duì)稱(chēng)軸為，

則有或或

解得．  ………………②

綜合①、②，實(shí)數(shù)的取值范圍是．        …………………………………14分

 

【解析】略