Question

在一塊傾斜放置的矩形木塊上釘著一個形如“等腰三角形”的五行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙，第2行3個鐵釘之間有2個空隙…第5行6個鐵釘之間有5個空隙（如圖）．某人將一個玻璃球從第1行的空隙向下滾動，玻璃球碰到第2行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按類似方式繼續往下滾動，落入第5行的某一個空隙后，掉入木板下方相應的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分數ξ如圖所示．
（Ⅰ）求Eξ；
（Ⅱ）若此人進行4次相同試驗，求至少3次獲得4分的概率．

Answer 1

考點：相互獨立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）設4次獨立重復試驗中落入左邊空隙的次數為η，則η～B（4，

1

2

）．由此能求出Eξ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次試驗獲得4分的概率

1

2

，他進行4次相同試驗可以看著他進行了4次獨立重復試驗，由此能求出至少3次獲得4分的概率．

解答： 解：（Ⅰ）從第1行開始，玻璃球從一個空隙向下滾動，
碰到此空隙下方的一個鐵釘后以

1

2

的概率落入鐵釘左邊的空隙，
同樣以

1

2

的概率落入鐵釘右邊的空隙．
玻璃球繼續往下滾動時，總有落入鐵釘左邊和右邊空隙的兩種結果．
到最后落入某一個球槽內，一共進行了4次獨立重復試驗，
設4次獨立重復試驗中落入左邊空隙的次數為η，則η～B（4，

1

2

）．
P（ξ=6）=P（η=0）+P（η=4）=

C

0 4

(

1

2

)4+

C

4 4

(

1

2

)4=

1

8

，（2分）
P（ξ=4）=P（η=1）+P（η=3）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)=

1

2

，（4分）
P（ξ=2）=P（η=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2=

3

8

．（6分）
則Eξ=6×

1

8

+4×

1

2

+2×

3

8

=3.5．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次試驗獲得4分的概率

1

2

，
他進行4次相同試驗可以看著他進行了4次獨立重復試驗，（10分）
則至少3次獲得4分的概率P=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)+

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3=

5

16

．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查數學期望的求法，是中檔題，解題時要注意二項分布的性質的合理運用．