Question

2．已知矩形ABCD的長AB=4，寬AD=3，將其沿對角線BD折起，得到四面體A-BCD，如圖所示，

給出下列結論：
①四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{72}{5}$；
②四面體A-BCD外接球的表面積恒為定值；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點，則恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④當二面角A-BD-C為直二面角時，直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$；
⑤當二面角A-BD-C的大小為60°時，棱AC的長為$\frac{14}{5}$．
其中正確的結論的個數有（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{24}{5}$；在②中，三棱錐A-BCD外接球的表面積為25π；在③中，連接AF，CF，得到EF⊥AC，連接DE，BE，得△ACD≌△ACB，得DE=BE，從而EF⊥BD；在④中，以C為原點CB，CD所在直線分別為x，y軸，由向量的數量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$；在⑤中，當二面角A-BD-C的大小為60°時，AC=$\frac{\sqrt{193}}{5}$．

解答 解：①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直，
四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故①不正確；
②三棱錐A-BCD外接球的半徑為$\frac{5}{2}$，
所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4$π×\frac{25}{4}=25π$，故②正確；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點，連接AF，CF則AF=CF，
根據等腰三角形三線合一得到EF⊥AC；
連接DE，BE，得△ACD≌△ACB，
得到DE=BE，所以EF⊥BD，故③正確；
④當二面角A-BD-C為直二面角時，以C為原點CB，CD所在直線分別為x，y軸，
則由向量的數量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$，故④正確．
⑤在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，則AE=CF=$\frac{12}{5}$，DE=BF=$\frac{9}{5}$，
同理直角三角形ABC中，則EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
在平面ABD內，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，得四邊形AEFH為矩形，
則AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，
即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角，且為60°，
即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
則AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$，故⑤錯誤；
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．