Question

對x∈（-∞，-1]時（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，則m的取值范圍是

（-2，3）

．

Answer 1

分析：由題意，x∈（-∞，-1]時（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，求m的范圍，可以將不等式變為m²-m＜

1

2x

+

1

4x

在x∈（-∞，-1]恒成立，由此問題變化為求

1

2x

+

1

4x

在x∈（-∞，-1]的最小值，再令此最小值大于m²-m，解此不等式即可求出m的取值范圍

解答：解：由題意，x∈（-∞，-1]時（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立可轉化為m²-m＜

1

2x

+

1

4x

在x∈（-∞，-1]恒成立
令t=

1

2x

，由于x∈（-∞，-1]，可得t∈[2，+∞）
問題轉化為m²-m＜t²+t，t∈[2，+∞）恒成立
由于t²+t=(t+

1

2

)2-

1

4

≥6，等號當t=2時取到，即t²+t，t∈[2，+∞）的最小值為6
所以m²-m＜6，解得-2＜m＜3
m的取值范圍是（-2，3）
故答案為（-2，3）

點評：本題考查函數恒成立求參數的問題，考查了求指數函數的值域，二次函數在閉區間上的最值及恒成立問題的轉化，解題的關鍵是將函數恒成立求參數轉化為求最值的問題，分離常數是變形的重點，函數恒成立求參數是一類有難度的題目，本題具有一般性，此類題一般都可如本題一樣轉化為最值問題解決，本題考查了函數思想轉化的思想，判斷推理的能力，轉化化歸的能力，由于本題具有一般性，解法可以推廣，題后注意總結做題的規律