Question

已知：函數f（x）在（-1，1）上有定義，f(

1

2

)=-1，且對?x、y∈（-1，1）有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（Ⅰ）試判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）對于數列{x_n}，有x1=

1

2

，xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

，試證明數列{f（x_n）}成等比數列；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)．

Answer 1

分析：（I）根據題意在f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)中，令y=-x，計算可得f（-x）=f（x），從而可得函數為奇函數．
（II）欲證數列{f（x_n）}成等比數列，只須證得

f(xn+1)

f(xn)

=

1

2

，利用題中條件：x1=

1

2

，xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

從而可證明數列{f{x_n}}為等比數列．
（2）利用（Ⅱ）可得f(xn)=-

1

2n-1

，求得

n

i=1

f(xi)，從而利用等比數列的求和公式得

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)，進而得解．

解答：解：（Ⅰ）在f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)中，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）
再令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函數f（x）為奇函數
（Ⅱ）證明：由xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

得xn=

2xn+1

1+ x 2 n+1

∵|

2xn+1

1+ x 2 n+1

|=

2|xn+1|

1+ x 2 n+1

＜1∴-1＜xn=

2xn+1

1+ x 2 n+1

＜1
∴f(xn+1)=f(

xn-xn+1

1-xn•xn+1

)=f(xn)+f(-xn+1)
∵函數f（x）為奇函數，∴f（x_n+1）=f（x_n）-f（x_n+1），2f（x_n+1）=f（x_n）
∵x_n≠0否則與x1=

1

2

矛盾，∴f（x_n）≠f（0）=0
〔或f(xn)=f(

2xn+1

1+ x 2 n+1

)=f(

xn+1+xn+1

1+xn+1•xn+1

)=f(xn+1)+f(xn+1)=2f（x_n+1）〕
∴

f(xn+1)

f(xn)

=

1

2

，
∵f(x1)=f(

1

2

)=-1，∴{f（x_n）}是以-1為首項，

1

2

為公比的等比數列
（Ⅲ）證明：又（Ⅱ）可得f(xn)=-

1

2n-1

∵

n

i=1

f(xi)=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-2+

1

2n-1

f(

4

5

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=-2
又∵n∈N^*∴-2+

1

2n-1

＞-2∴

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)

點評：本小題主要考查抽象函數及其應用、函數奇偶性的應用、數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于難題．