Question

已知奇函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，且f（-2）=0，則不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為（　　）

A．（-3，-1）

B．（-3，1）∪（2，+∞）

C．（-3，0）∪（3，+∞）

D．（-1，1）∪（1，3）

Answer 1

分析：求不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集，先轉化為求不等式xf（x）＞0的解集，根據奇函數的單調性作出函數的圖象，分類討論即可解決．

解答：解：∵奇函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，且f（-2）=0，
作函數f（x）的草圖，如右
先求不等式xf（x）＜0的解，
當x＞0時（y軸右側），f（x）＜0（x軸下方），∴x＞2
當x＜0時（y軸左側），f（x）＞0（x軸下方），∴x＜-2
可見不等式xf（x）＞0的解為：-2＜x＜0或0＜x＜2
再將x換成x-1，
得：-2＜x-1＜0或0＜x-1＜2
即：-1＜x＜1或1＜x＜3
故選D

點評：本題考查了函數奇偶性與單調性的簡單應用，關鍵是運用轉化思想與分類討論思想，同時作圖是該題的突破點，屬于基礎題．