Question

已知(2-

3

x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，其中a₀，a₁，a₂…，a₅₀是常數，求：(a0+a2+a4+…+a50)2-(a1+a3+a5+…+a49)2的值．

Answer 1

分析：由題意可得a0+a1+a2+…+a50=(2-

3

)50，a0-a1+a2-…+a50=(2+

3

)50，把要求的式子用平方差公式展開，再把這兩個式子代入，即可求得結果．

解答：解：設f(x)=(2-

3

x)50，令x=1，得a0+a1+a2+…+a50=(2-

3

)50，
令x=-1，得a0-a1+a2-…+a50=(2+

3

)50，
故 (a0+a2+a4+…+a50)2-(a1+a3+a5+…+a49)2=(a0+a1+a2+…+a50)(a0-a1+a2-…+a50)=(2-

3

)50(2+

3

)50=1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．