Question

等腰三角形ABC中，A=

π

2

，AB=AC=2，M是BC的中點，P點在三角形ABC內部或其邊界上運動，則

BP

•

AM

的取值范圍是（　　）

• A、[-1，0]
• B、[1，2]
• C、[-2，-1]
• D、[-2，0]

Answer 1

分析：根據已知條件建立直角坐標系，以點A為原點，AC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系，寫出點A，B，C，M的坐標，設出點P的坐標，根據點P在三角形ABC內部或其邊界上運動，則寫出x，y應滿足的條件，求出

BP

，

AM

，根據向量的數量積的坐標運算求出

BP

•

AM

，利用線性規劃求得它的取值范圍．

解答：解：以點A為原點，AC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系，
則A（0，0），B（0，2），C（2，0），設點P（x，y），
∵，M是BC的中點，P點在三角形ABC內部或其邊界上運動，
∴M（1，1），

x≥0 y≥0 x+y-1≤0

，

BP

=（x，y-2），

AM

=（1，1），
∴

BP

•

AM

=x+y-2，
由圖形可知當在點A處取最小值-2，在線段BC上的任意一點取最大值0，
∴

BP

•

AM

的取值范圍為[-2，0]．
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應用，側重于對向量坐標運算和數量積、圖解法求線性規劃問題等基礎知識的考查，體現了轉化的思想，和熟練應用知識分析、解決問題的能力．