Question

【題目】已知橢圓:的左右頂點分別為,,為坐標原點,且.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若點為直線在第一象限內的一點,連接交橢圓于點,連接并延長交橢圓于點.若直線的斜率為1,求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓的幾何意義,求得進而求得,即可得橢圓的標準方程.

（2）根據直線的斜率為1,可設直線的方程,聯立橢圓方程,利用直線與橢圓有兩個交點可知得的范圍.由兩點求得斜率并表示出直線與直線,結合韋達定理即可求得的值.即可得點的坐標.

（1）根據橢圓的幾何意義,可知，

所以，故橢圓:；

（2）因為直線的斜率為1，所以設:,,，

與橢圓聯立，整理得，，

則,，

直線:與直線:交于點，

則，故，

點在第一象限則，由于點，直線的方程為，

聯立，解得，故.