Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，E是PC的中點，底面ABCD為矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE與棱PD交于點F．

（1）求證：EF∥平面PAB；

（2）若PB與平面ABCD所成角的正弦值為，求二面角P-AE-B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用AB∥平面PCD，可得AB∥EF，即可證明；（2）取AD中點O，連結OP，以O為原點，OA為x軸，在平面ABCD中，過O作AB的平行線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值．

（1）矩形ABCD中，AB∥CD，

∵AB面PCD，CD平面PCD，

∴AB∥平面PCD，

又AB平面ABE，

平面PCD∩平面ABE=EF，

∴AB∥EF，

∵EF面PAB，AB平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）取AD中點O，連結OP，

∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD，連接OB，則OB為PB在平面ABCD內的射影，

∴∠PBO為PB與平面ABCD所成角，根據題意知sin∠PBO=，

∴tan∠PBO=，由題OB=，∴PO=2

取BC中點G，連接OG，以O為坐標原點，OA為x軸，在平面ABCD中，過O作AB的平行線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，

B（1，4，0），設P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1）

，

設平面PAE的法向量為，

于是，

令x=2，則y=1，z=1

∴平面PAE的一個法向量=（2，1，1），

同理平面ABE的一個法向量為=（2，0，3），

∴cos=

可知二面角P-AE-B為鈍二面角

所以二面角P-AE-B的余弦值為-．