Question

20．已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=2x+x²，若存在正數a，b，使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域為$[{\frac{1}{b}，\frac{1}{a}}]$，求a+b的值．

Answer 1

分析 根據題意，先由奇函數的性質，分析可得x＞0時，f（x）=2x-x²，對于正實數a、b，分三種情況討論：①、當a＜1＜b時，②、當a＜b＜1時，③、當1≤a＜b時，結合二次函數的性質，分析可得a、b的值，將其相加可得答案．

解答 解：設x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x），即-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，設這樣的正數a，b存在，
則$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{b}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{a}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=1\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}=1\end{array}\right.$
由$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{b}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}\end{array}\right.$得ab（a-b）=0，舍去；由$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=1\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1.\end{array}\right.$矛盾，舍去；
由$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{a}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{b}\end{array}\right.$得a，b是方程-x³+2x²=1的兩個實數根，
由（x-1）（x²-x-1）=0
得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}\end{array}\right.$，$a+b=1+\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}=\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，涉及二次函數的性質，注意先由奇函數的性質，求出x＞0時，f（x）的解析式．