Question

15．已知點O、N、P在三角形ABC所在平面內，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，則點O、N、P依次是三角形ABC的（　　）

• A． 重心、外心、垂心
• B． 重心、外心、內心
• C． 外心、重心、垂心
• D． 外心、重心、內心

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，得到O是三角形的外心，只要判斷第三個條件可以得到三角形的內心或垂心就可以，由$|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，得到$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$，同理得到另外兩個向量都與邊垂直，從而P是三角形的垂心．

解答 解：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，∴O到三角形三個頂點的距離相等，
∴O是三角形的外心，
根據所給的四個選項，第一個判斷為外心的只有C，D兩個選項，
∴只要判斷第三個條件可以得到三角形的內心或垂心就可以，
∵$|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）=0，∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}$=0，
∴$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$，同理得到另外兩個向量都與邊垂直，
∴P是三角形的垂心．
故選：C．

點評 本題考查三角形的重心、外心、垂心的判斷，涉及到向量、三角形五心等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．