Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與分別交于.

（Ⅰ）寫出的平面直角坐標系方程和的普通方程；

（Ⅱ）若成等比數(shù)列，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為,直線的普通方程為；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由曲線極坐標方程，兩邊同乘以，可得曲線的直角坐標方程為,消去參數(shù)，得直線的普通方程為；（Ⅱ）由直線參數(shù)的幾何意義可知，，，，由已知，聯(lián)立直線的參數(shù)方程與的直角坐標方程，得，故，，則有

，得或，又，所以.

試題解析：（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為；

直線的普通方程為.

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程與的直角坐標方程聯(lián)立，得

（*）

.

設(shè)點分別對應(yīng)參數(shù)，恰為上述方程的根.

則，，.

由題設(shè)得，即.

由（*）得，，則有

，得，或.

因為，所以.