Question

（本小題滿分12分）已知函數定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.

（Ⅰ）證明函數是奇函數；

（Ⅱ）討論函數在區間上的單調性；

（Ⅲ）設，若，對所有，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）奇函數；（Ⅱ）單調遞增函數；（Ⅲ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對于抽象函數的研究，往往用賦值法，即給變量賦予特殊值或特殊關系，奇偶性的判斷需從定義出發；（Ⅱ）單調性的研究也必須從定義出發；（Ⅲ）利用已經得到的單調性，去掉函數法則符號，轉化為具體的不等式，然后再利用變更主元的思想方法求參數的范圍.

試題解析：（Ⅰ）因為有，

令，得，所以， 1分

令可得：

所以，所以為奇函數. 3分

（Ⅱ）是定義在上的奇函數，由題意設，則

由題意時，有，

是在上為單調遞增函數； 7分

（Ⅲ）因為在上為單調遞增函數，

所以在上的最大值為， 8分

所以要使<，對所有恒成立，

只要，即， 9分

令

由 得，

或. 12分

考點：抽象函數及其性質的綜合應用.