Question

11．利用單調性定義判斷函數f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函數還是減函數，并求出最值．

Answer 1

分析 函數f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函數，利用定義法能進行證明，根據函數的單調性能求出最值．

解答 解：函數f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函數．
證明如下：
在[2，6]內任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{1}{{x}_{1}-1}$）-（1-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=$\frac{1}{{x}_{2}-1}-\frac{1}{{x}_{1}-1}$，
∵x₁，x₂∈[2，6]，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}-1}-\frac{1}{{x}_{1}-1}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函數．
∴f（x）_min=f（2）=0，$f（x）_{max}=f（6）=\frac{6-2}{6-1}$=$\frac{4}{5}$．
∴f（x）在[2，6]上的最小值為0，最大值為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查函數的單調性的判斷與證明，考查最值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．