Question

【題目】已知函數，.

（1）記，試判斷在區間內零點個數并說明理由；

（2）記（1）中的在內的零點為，，若在有兩個不等實根，判斷與的大小，并給出對應的證明.

Answer 1

【答案】（1）一個零點，理由見解析；（2），證明見解析

【解析】

（1）利用導數得到在區間上是增函數，，，并且在上連續的，由零點定理即得解；（2）先求出當時，是單調遞增函數；當時，是單調遞減函數,轉化成證明，即轉化成證明.

（1）由題意：，

那么，定義域為，，

由題設，故，即在區間上是增函數.

那么，，并且在上連續的，

故根據零點存在定理，有在區間有且僅有唯一實根，即一個零點.

（2），

當時，恒大于，

所以當時，是單調遞增函數；

當時，恒小于，是單調遞減函數.在有兩個不等實根，

則，，顯然：當時，.

要證明，即可證明，

而在時是單調遞減函數.故證.

又由，即可證：.即，（構造思想），

即，

令，由（1）可知：，

那么：，

記，則，

當時，；當時，；故；

而；故，而，從而有：；

因此：，即單增，從而時，，

即成立.故得：.