Question

12．已知函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于（1，0）點，則f（x）在[-1，1]的最大值、最小值分別為（　　）

• A． 0，-4
• B． $\frac{4}{27}$，-4
• C． $\frac{4}{27}$，0
• D． 2，0

Answer 1

分析 因為f（x）與x軸相切且切點為（1，0）則（1，0）代入到f（x）中得到p+q=1；又因為相切時函數與x軸只有一個交點即根的判別式=0得p²+4q=0，解出p、q的值確定出f（x），求出函數的單調區間，從而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：由函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于點（1，0）得：
p+q=1，p²+4q=0．解出p=2，q=-1
則函數f（x）=x³-2x²+x
則f′（x）=3x²-4x+1令其=0得到：x=1或x=$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，1]遞減，
故f（x）的最大值是f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
而f（-1）=-4，f（1）=0，
故f（x）的最小值是-4，
故選：B．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．