Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點，面PAD⊥面ABCD，四邊形
BCDE為矩形∠PAD=60°，PB=2$\sqrt{3}$，PA=ED=2AE=2．
（Ⅰ）求證：CB⊥面PEB
（Ⅱ） 已知$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}（{λ∈R}）$，且PA∥面BEF，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出$PE=\sqrt{3}$，從而PE⊥AD，再由面面垂直的性質定理，以及線面垂直的判定定理，即可證得CB⊥面PEB；
（Ⅱ）連接AC交BE于點M，連接FM，運用線面平行的性質定理，得到PA∥FM，再由平行線分線段成比例，得到λ的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
∴$PE=\sqrt{3}$，
∴PE⊥AD．
又面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，PE⊥面ABCD，
∴PE⊥CB，
又∴BE⊥CB，且PE∩BE=E，
∴CB⊥面PEB．
（Ⅱ）解：連接AC交BE于點M，連接FM．
∵PA∥面BEF，
∴FM∥AP，
∵EM∥CD，
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$
∵FM∥AP，
∴$\frac{PF}{FC}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}$，
∴$λ=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的性質定理和線面垂直的判定和性質定理，面面垂直的性質定理，同時考查等積法求點到平面的距離，平行線分線段成比例等，屬于中檔題．