Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．
（1）證明：△CBF≌△CDF；
（2）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,相似三角形的性質

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA，即可證明△CBF≌△CDF．
（2）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答： （1）證明：在△ABC和△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，

BC=DC ∠BCA=∠DCA CF=CF

，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
（2）解：當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD=∠BAD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BCD，
∴∠EFD=∠BAD．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．