Question

（本小題滿分12分）如圖,直角梯形ABCD中，，AD = AB = 2， BC = 3，E，F分別是AD,BC上的兩點，且AE =BF＝1，G為AB中點,將四邊形ABCD沿EF折起到（如圖2）所示的位置，使得EG丄GC，連接 AD、BC、AC得（圖2）所示六面體．

（1）求證：EG丄平面CFG;

（2）求二面角A —CD-E的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵．（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化．同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備．

試題解析：證明：（Ⅰ）分別是上的兩點，

四邊形為矩形

折疊后，即平面

連接

由已知得

平面 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

平面

7分

如圖建系則（1,0,2）（0,2,0）（0,1,2）

設=為平面的法向量，

得．則令得 9分

又為平面的法向量，

設二面角為，則，即 12分

考點：1、直線與平面垂直的判定；2、求二面角的余弦值．