Question

已知橢圓離心率為0.5，且過（2，0）點，則橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1或

y2

16 3

+

x2

4

=1

．

Answer 1

分析：由于橢圓的焦點位置未定，故需要進行分類討論，進而可求橢圓的標準方程．

解答：解：（1）當橢圓的焦點在x軸上時，∵a=2，

c

a

=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）當橢圓的焦點在y軸上時，∵b=2，

c

a

=

1

2

，
∴

a2-b2

a

=

1

2

，解得a²=

16

3

．
故橢圓的方程為

y2

16 3

+

x2

4

=1．
綜上知，所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1或

y2

16 3

+

x2

4

=1．
故答案為：

x2

4

+

y2

3

=1或

y2

16 3

+

x2

4

=1．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查分類討論的數學思想，屬于基礎題．