Question

【題目】如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ， 為等邊三角形， 且 ， 分別為 的中點.

（1）求證： 平面 .
（2）求證：平面 平面 .
（3）求三棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 分別是 的中點，
所以 ，
因為 面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解： ， 是 的中點，
所以 ，
又因為平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以平面 平面
（3）解：在等腰直角三角形 中， ，
所以 ， ，
所以等邊三角形 的面積 ，
又因為 平面 ，
所以三棱錐 的體積等于 .
又因為三棱錐 的體積與三棱錐 的體積相等
【解析】（1）根據中位線定理證明VB//OM，進而證明直線VB//平面MOC。
（2）等邊三角形中，斜邊中線即為高線，證明AB與OC垂直，利用已知條件中的面面垂直，證明OC與平面VAB垂直，利用面面垂直的判定定理證明結論。
（3）利用等體積法，將三棱錐V-ABC的體積轉化為求三棱錐C-VAB的體積，利用（2）的結論求出結果。