Question

【題目】已知函數f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）
（1）在x=1時有極值0，試求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x=2處的切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax3﹣bx+2的導數為f′（x）=3ax2﹣b，

在x=1時有極值0，可得f（1）=0，且f′（1）=0，

即為a﹣b+2=0，且3a﹣b=0，

解得a=1，b=3，

可得f（x）=x3﹣3x+2

（2）解：f′（x）=3ax2﹣b，

可得f（x）在x=2處的切線斜率為12a﹣b，

切點為（2，8a﹣2b+2），

即有f（x）在x=2處的切線方程為y﹣（8a﹣2b+2）=（12a﹣b）（x﹣2），

化為（12a﹣b）x﹣y﹣16a+2=0

【解析】（1）求出f（x）的導數，可得f（1）=0，且f′（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，進而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求切線的方程．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．