Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）證明：BN⊥平面C1B1N；

（2）求二面角的正弦值

Answer 1

（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三視圖綜合考慮，根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體的實際形狀時，一般以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮；（2）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化.（3）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵，把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（1）證明：由題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

則

,

,

以B為原點，BA為x軸，BB1為Y軸，BC為Z軸建立空間直角坐標系

可得二平面的法向量。則所求值為.

考點：（1）三視圖（2）線面垂直（3）二面角.