Question

已知數列

⑴求證：為等差數列；

⑵求的前n項和；

⑶若，求數列中的最大值.

 

Answer 1

⑴見解析；⑵Sn= (n－1)·2n+1＋2；⑶最大值為b1=0.5.

【解析】

試題分析：⑴利用等差數列的定義，研究為定值；

⑵由⑴進一步得，利用“錯位相減法”求和.

根據Sn=1·21＋2·22＋3·23＋ ＋(n－1)·2n－1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋ ＋(n－1)·2n＋n·2n+1

兩式相減得：－Sn=21＋22＋23＋ ＋2n－n·2n+1 =

⑶由

研究，得到推出{bn}為遞減數列

數列{bn}中的最大值為b1.

試題解析：⑴∵

∴

∴為等差數列，首項為，公差d=1(4分)

⑵由⑴得 ∴(6分)

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋ ＋(n－1)·2n－1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋ ＋(n－1)·2n＋n·2n+1

兩式相減得：－Sn=21＋22＋23＋ ＋2n－n·2n+1

=

∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 (10分)

⑶

∴ ∴(12分)

又∵2(2n2＋n－1)－(2n2＋n)=2n2＋n－2

當n≥1時，2n2＋n－2>0 ∴2(2n2＋n－1)>2n2＋n>0

∴即bn＋1<bn

∴{bn}為遞減數列 (14分)

數列{bn}中的最大值為b1=0.5

考點：等差數列，等比數列的求和，“錯位相減法”.