Question

15．設(shè)實數(shù)a，b滿足a+2b=9．
（1）若|9-2b|+|a+1|＜3，求a的取值范圍；
（2）若a，b＞0，且z=ab²，求z的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件原不等式變?yōu)閨a|+|a+1|＜3，對a討論，去掉絕對值，解不等式即可得到所求解集；
（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab²=a•b•b，運用三元基本不等式，即可得到得到最大值；
方法二、由條件可得a=9-2b，求得b的范圍，求出z關(guān)于b的函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值．

解答 解：（1）由a+2b=9得a=9-2b，即|a|=|9-2b|，
若|9-2b|+|a+1|＜3，則|a|+|a+1|＜3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a+1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2a-1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤0}\\{1＜3}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1或-2＜a＜-1或-1≤a≤0，
解得-2＜a＜1，
所以a的取值范圍為（-2，1）；
（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab²=a•b•b≤（$\frac{a+b+b}{3}$）³=（$\frac{a+2b}{3}$）³=3³=27，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時，等號成立．
故z的最大值為27．
方法二、a+2b=9，可得a=9-2b，
由a＞0，可得0＜b＜$\frac{9}{2}$，
z=ab²=（9-2b）b²=9b²-2b³，
z的導(dǎo)數(shù)為z′=18b-6b²=6b（3-b），
可得0＜b＜3，導(dǎo)數(shù)z′＞0，函數(shù)z遞增；
3＜b＜$\frac{9}{2}$時，導(dǎo)數(shù)z′＜0，函數(shù)z遞減．
則b=3處函數(shù)z取得極大值，且為最大值27．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查基本不等式的運用，注意變形、運用三元不等式，同時考查導(dǎo)數(shù)的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．