Question

設

a

、

b

、

c

是任意的非零平面向量，且互不平行，則下列四個命題中的真命題是（　　）
①(

a

•

b

)

c

-(

c

•

a

)

b

=

0

；             ②|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|；
③(

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

與

c

垂直；         ④λ

a

+μ

b

=

0

?λ=0，μ=0（λ，μ為實數）．

Answer 1

分析：由題意知①中研究向量的數量積與數乘運算，根據運算規則判斷，②中研究向量差的模與模的差的關系，根據其幾何意義判斷，③中研究向量的垂直關系，根據數量積為0驗證，④中是平面向量基本定理的考查，根據平面向量基本定理判斷．

解答：解：∵

c

與 (

a

•

b

)

c

共線，

b

與 (

c

•

a

)

b

共線，由題設條件知：

b

與

c

不共線的任意的非零向量，知①不正確，
由向量的減法法則知，兩向量差的模一定大于兩向量模的差，故②正確，
因為[(

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

]•

c

=0，
故 (

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

與

c

垂直，所以命題③正確；
根據平面向量基本定理得：λ

a

+μ

b

=

0

?λ=0，μ=0（λ，μ為實數），故④正確．
綜上知②③④是正確命題
故選B．

點評：本題考查數量積的運算，數乘向量的運算，解題的關鍵是理解向量數量積運算及其幾何意義，理解數量積為0對應的幾何意義是兩向量垂直．本題的選項設置不合理，其實只要能判斷①不正確，就可得出正確答案．