Question

已知

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=(5-m，-3-m)
（Ⅰ） 若點A，B，C不能構成三角形，求m的值；
（Ⅱ）若點A，B，C構成的三角形為直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（I）將三點不能構成三角形轉化為三點共線，再將三點共線轉化為由三點為始點、終點的兩個向量共線，利用向量共線的充要條件列出方程，求出m的值．
（II）三角形為直角三角形根據哪一個角是直角分三種情況討論，利用向量垂直的充要條件列出方程，求出m的值．

解答：解：（I）若點A，B，C不能構成三角形，則A，B，C三點共線
由

AB

=(3，1)，

AC

=(2-m，1-m)，
則有3(1-m)=2-m⇒m=

1

2

（Ⅱ）若點A，B，C構成的三角形為直角三角形，則
①若AB⊥AC，則有3(2-m)+(1-m)=0⇒m=

7

4

；
②若AB⊥BC，又

BC

=(-1-m，-m)，
則有3(-1-m)-m=0⇒m=-

3

4

③若AC⊥BC，則有（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0
解得m=

1± 5

2

∴m=

7

4

或m= -

3

4

或m=

1± 5

2

點評：解決三點共線問題常轉化為以三點為始點、終點的兩個向量共線，利用向量共線的充要條件找等量關系；解決直線垂直問題，常借助兩個向量垂直的充要條件來找關系．