Question

橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上存在點P使

PF1

•

PF2

＜0，則離心率e∈（　　）

• A、（0，

  2

  2

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ]
• C、（

  2

  2

  ，1）
• D、（

  2

  2

  ，1]

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：

分析：據題意，可得以F₁F₂為直徑的圓與橢圓C有公共點，因此橢圓短軸的頂點在該圓的內部．由此建立關于a、b、c的不等關系，化簡解出a＜

2

c，從而求出離心率的范圍．

解答： 解：∵點P滿足

PF1

•

PF2

＜0，
∴點P在以F₁F₂為直徑的圓的內部，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓C有公共點，
由此可得橢圓短軸的頂點在在圓的內部，
∴b＜c，即

a2-c2

＜c，化簡得a²＜2c²，解得a＜

2

c．
因此，橢圓C的離心率e=

c

a

＞

2

2

．
∵橢圓離心率在（0，1）之間取值，
∴橢圓C的離心率e∈（

2

2

，1）．
故選：C．

點評：本題給出橢圓上存在點P，使點P對兩個焦點的張角為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍．著重考查了橢圓的基本概念與簡單幾何性質、直線的位置關系與圓的定義與標準方程等知識，屬于中檔題．