Question

9．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示，點E、F分別為棱PC、CD的中點．

（Ⅰ）求證：平面OEF∥平面APD；
（Ⅱ）若AD=3，CD=4，AB=5，求四棱錐E-CFO的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PO⊥平面ABC，從而PO⊥AC，推導出OE∥PA，從而OE∥平面PAD，同理OF∥平面PAD，由此能證明平面OEF∥平面PDA．
（Ⅱ）求出${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×3×4=6$，${S_{△CFO}}=\frac{1}{4}{S_{△ACD}}=\frac{3}{2}$，再求出P點到平面ACD的距離為$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，E到平面CFO的距離為$\frac{5}{4}\sqrt{3}$，由此能求出四棱錐E-CFO的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因為點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC，
 因為AB=BC，所以O是AC中點，
所以OE∥PA，PA?平面PAD，
 所以 OE∥平面PAD，同理OF∥平面PAD，
又OE∩OF=O，OE、OF?平面OEF，
所以平面OEF∥平面PDA．…（6分）
解：（Ⅱ）因為∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
所以${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
而點O，E分別是AC，CD的中點，所以${S_{△CFO}}=\frac{1}{4}{S_{△ACD}}=\frac{3}{2}$，
由題意可知△ACP為邊長為5的等邊三角形，所以高$OP=\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
即P點到平面ACD的距離為$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
又E為PC的中點，所以E到平面CFO的距離為$\frac{5}{4}\sqrt{3}$，
故四棱錐E-CFO的體積${V_{E-CFO}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{5}{4}\sqrt{3}=\frac{5}{8}\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查面面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．