Question

已知函數（）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）函數在定義域內是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；

（3）若對任意恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的單調增區間為，單調減區間為.（2）當時，函數有兩個不同的零點；當時，函數有且僅有一個零點；當時，函數沒有零點；（3）

a的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）首先求導：，再根據導數的符號確定其單調性．時，函數單調遞增；時，函數單調減；（2）首先分離參數.由，得.令（），下面就利用導數研究函數性質，然后結合圖象便可得知的零點的個數；（3）要使得對任意恒成立，只需的最小值大于零即可. 由，則．當時，對，有，所以函數在區間上單調遞增，又，即對恒成立．當時，由（1），單調遞增區間為，單調遞減區間為，若對任意恒成立，只需，顯然不可能直接解這個不等式，下面利用導數來研究，看在什么條件下這個不等式能成立.令（），，即在區間上單調遞減，又，故在上恒成立，也就是說當時，滿足的a不存在．所以a的取值范圍是．

（1）由，則．

由，得；由，得，

所以函數的單調增區間為，單調減區間為． 4分

（2）函數的定義域為，由，得（）， 5分

令（），則，

由于，，可知當，；當時，，

故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故． 6分

又由（1）知當時，對，有，即， .7分

（隨著的增長，的增長速度越越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越越慢．則當且無限接近于0時，趨向于正無窮大.）

當時，函數有兩個不同的零點；

當時，函數有且僅有一個零點；

當時，函數沒有零點． 9分

（3）由，則．

①當時，對，有，所以函數在區間上單調遞增，又，即對恒成立． 10分

②當時，由（1），單調遞增區間為，單調遞減區間為，

若對任意恒成立，只需， 11分

令（），，

即在區間上單調遞減，又，故在上恒成立， 13分

故當時，滿足的a不存在．

綜上所述，a的取值范圍是． 14分

考點：1、導數及其應用；2、函數的零點；3、導數與不等式.