Question

【題目】已知圓的圓心為，直線l過點且與x軸不重合，l交圓于C，D兩點，過作的平行線，交于點E.設點E的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）直線與相切于點M，與兩坐標軸的交點為A與B，直線經過點M且與垂直，與的另一個交點為N，當取得最小值時，求的面積.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據三角形相似得到，得到AE+DE＝4，再利用橢圓定義求解即可

（2）設的方程為，與橢圓聯立，由直線與相切得，由在x軸、y軸上的截距分別為，m，得表達式，結合基本不等式求得坐標及，進而得，則面積可求

（1）因為，所以.

又，所以，則，

所以，從而.

化為，

所以，

從而E的軌跡為以，為焦點，長軸長為的橢圓（剔除左、右頂點）.

所以的方程為.

（2）易知的斜率存在，所以可設的方程為，

聯立消去y，得.

因為直線l與相切,所以，

即.

在x軸、y軸上的截距分別為，m，

則

，

當且僅當，即時取等號.

所以當時，取得最小值，此時，

根據對稱性.不妨取，，此時，

即，從而.

聯立消去y，得，

則，解得，

所以，故的面積為.