Question

【題目】已知點是圓：上的一動點，點，點在線段上，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設曲線與軸的正半軸，軸的正半軸的交點分別為點，，斜率為的動直線交曲線于、兩點，其中點在第一象限，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由向量的數量積的運算，可得，化簡得，利用橢圓的定義，即可求得動點的軌跡方程．

（2）設直線的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系和弦長公式，求得

和，在利用點到直線的距離公式，求得點到直線的距離 和點到直線的距離為，得出四邊形面積，即可求解．

（1）由題意， ，

∴.

∴ ，

∴點的軌跡是以點，為焦點且長軸長為6的橢圓，

即，，∴，，∴.

即點的軌跡的方程為.

（2）由（1）可得，.

設直線的方程為，由點在第一象限，得，，，

由，得，

則，， ，

點到直線的距離為，點到直線的距離為，

∴四邊形面積 ，

又，∴當時，取得最大值.

即四邊形面積的最大值為.