Question

【題目】從拋物線上各點向x軸作垂線，垂線段中點的軌跡為E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若直線與曲線E相交于A，B兩點，求證：；

（3）若點F為曲線E的焦點，過點的直線與曲線E交于M，N兩點，直線，分別與曲線E交于C，D兩點，設直線，斜率分別為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

(1)設垂線段的中點為，時拋物線上的點，得出，代入拋物線方程可求出曲線E的方程.
(2)將直線代入拋物線方程，求得，代入直線方程求得，由，即可證明.
(3)設直線：，設，聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理的關系得，由M，F，C三點共線，M，F，C三點共線，

利用的坐標表示出的坐標,即可得到答案.

（1）令拋物線上一點，設垂線段的中點為.

由已知得，

∵滿足，∴，則，即

∴曲線E的方程為：

（2）由，可得，

設，由于，

由韋達定理可知：，

，

∴，

∴

（3）設，直線：，則

由得

則恒成立，

設

由M，F，C三點共線，得，，化簡為：，從而

同理，由N，F，D三點共線，得

所以

所以