Question

設斜率為的直線交橢圓：于兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設、都存在）．
（1）求×的值．
（2）把上述橢圓一般化為（＞＞０），其它條件不變，試猜想與關系(不需要證明)．請你給出在雙曲線（＞０，＞０）中相類似的結論，并證明你的結論．

Answer 1

（1）
（2）略

解（一）：（1）設直線方程，代入橢圓方程并整理得:
,
,又中點M在直線上，所以，從而可得弦中點M的坐標為，，所以
解（二）設點，中點 則
   
又與作差得 所以
（2）對于橢圓，  
已知斜率為的直線交雙曲線（＞０，＞０）于兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設、都存在）．
則×的值為．
（解一）、設直線方程為，代入（＞０，＞０）方程并整理得：
，，
所以，即  
(解二）設點中點
則     
又因為點在雙曲線上，則與作差得
   即