Question

（12分）如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，），離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2. 點(diǎn)P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2, 證明：=2；

Answer 1

略

（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（1,），e=. 所以，.
又a2=b2+c2，
所以a=,b="1," c=1.
（2）（i）證明：方法一：由于F1(－1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，且點(diǎn)P不在x軸上.
所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0.
又直線PF1，PF2的方程分別為y=k1(x+1),y=k2(x－1),
聯(lián)立方程解得
所以P.
因此2k1k2+3k1－k2=0，即，結(jié)論成立.
方法二：設(shè)P(x0,y0)，
則k1=, k2=,
因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，所以y0≠0.
又x0+y0=2,
所以