Question

11．已知復(fù)數(shù)（a²-1）+（a+1）i（其中a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若復(fù)數(shù)z=$\frac{a+\sqrt{3}i}{ai}$，求|z|．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)（a²-1）+（a+1）i（其中a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，得實(shí)部等于0且虛部不等于0，求解即可得答案；
（2）把a(bǔ)=1代入z=$\frac{a+\sqrt{3}i}{ai}$，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．

解答 解：（1）由復(fù)數(shù)（a²-1）+（a+1）i（其中a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{a+1≠0}\end{array}\right.$，即a=1．
∴實(shí)數(shù)a的值是1；
（2）z=$\frac{a+\sqrt{3}i}{ai}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{i}=\frac{-i（1+\sqrt{3}i）}{-{i}^{2}}=\sqrt{3}-i$，
則|z|=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{3+1}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．