Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）當b_n=log

4

3

（4a_n+1）時，求數列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n；．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）在數列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差得：an+1=

4

3

an（n≥2）．再由a₁=1求得a₂，可得數列{a_n}從第二項起是以

1

3

為首項，以

4

3

為公比的等比數列．由此求得數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）由b_n=log

4

3

（4a_n+1）=log

4

3

(

4

3

)n=n，代入

1

bnbn+1

，然后利用裂項相消法求數列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

1

3

S_n，得an=

1

3

Sn-1（n≥2）．
兩式作差得：an+1-an=

1

3

an，即an+1=

4

3

an（n≥2）．
又a₁=1，∴a2=

1

3

S1=

1

3

，
∴數列{a_n}從第二項起是以

1

3

為首項，以

4

3

為公比的等比數列．
則an=

1

3

•(

4

3

)n-2（n≥2）．
∴an=

1，n=1 1 3 •( 4 3 )n-2，n≥2

；
（2）b_n=log

4

3

（4a_n+1）=log

4

3

(

4

3

)n=n．

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，是中檔題．