Question

證明f（x）=3x²+2在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：在要求證的區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x₁，x₂，規(guī)定大小后把對應(yīng)的函數(shù)值作差，因式分解后判斷差式的符號，從而得到對應(yīng)函數(shù)值的大小，然后利用增函數(shù)的概念得到證明．

解答：證明：設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(3x12+2)-(3x22+2)
=3(x12-x22)=3（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
∵x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0．
∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜0．
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）=3x²+2在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了因式分解法，解答此題的關(guān)鍵是因式分解要徹底，避免出現(xiàn)證題用題的現(xiàn)象的發(fā)生．是基礎(chǔ)題．