Question

【題目】已知函數(為實常數)．

（1）當時，作出的圖象，并寫出它的單調遞增區間；

（2）設在區間的最小值為，求的表達式；

（3）已知函數在的情況下：其在區間單調遞減，在區間單調遞增.設，若函數在區間上是增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）圖象見解析；單調遞增區間；（2）；（3）

【解析】

（1）將二次函數圖象在軸下方的部分沿軸翻折到軸上方即可得到所求函數的圖象，結合圖象可寫出單調遞增區間；

（2）根據二次函數對稱軸為，分別討論，和三種情況，結合二次函數性質可得到三種情況下的最小值，進而得到；

（3）當時，可知為增函數，滿足題意；當時，由已知所給函數的單調性可得單調性，進而構造不等式求得的范圍；綜合兩種情況可得最終結果.

（1）當時，，則圖象如下圖所示：

由圖象可知：的單調遞增區間為

（2）當，即時，

當，即時，

當，即時，

綜上所述：

（3）由題意得：

當，即時，在上單調遞增，符合題意；

當，即時，在單調遞減，在單調遞增

，解得：

綜上所述：實數的取值范圍為