Question

16．函數f（x）=x•e^x．
（1）求f（x）的極值；
（2）k×f（x）≥$\frac{1}{2}$x²+x在[-1，+∞）上恒成立，求k值的集合．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的最小值即可；（2）分離參數，令φ（x）=$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，根據函數的單調性求出k的值即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞-1，
令f′（x）＜0，解得：x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增，
∴f（x）在極小值是f（-1）=-$\frac{1}{e}$，無極大值；
（2）x＞0時，k≥$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，
令φ（x）=$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，則φ′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{（-x-1{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$＜0，
φ（x）在（0，+∞）遞減，
故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；
-1≤x＜0時，k≤$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，
φ′（x）=$\frac{-x-1}{{e}^{x}}$＜0，
故φ（x）在[-1，0]遞減，φ（x）≥φ（0）=1，
故k≤1，
綜上，k=1，
故k∈{1}．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．