Question

設橢圓C：＋y²＝1(a＞0)的兩個焦點是F₁(－c，0)和F₂(c，0)(c＞0)，且橢圓C與圓x²＋y²＝c²有公共點．

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)若橢圓上的點到焦點的最短距離為，求橢圓的方程；

(Ⅲ)對(2)中的橢圓C，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點A(0，－1)，求實數m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由已知，， 　　∴方程組有實數解，從而，故，所以，即的取值范圍是． 　　(Ⅱ)設橢圓上的點到一個焦點的距離為， 　　則 　　()． 　　∵，∴當時，， 　　(可以直接用結論) 　　于是，，解得． 　　∴所求橢圓方程為． 　　(Ⅲ)由得(*) 　　∵直線與橢圓交于不同兩點， 　　∴△＞0，即．① 　　設、，則、是方程(*)的兩個實數解， 　　∴，∴線段的中點為，又∵線段的垂直平分線恒過點，∴， 　　即，即(k)　　② 　　由①，②得，，又由②得， 　　∴實數的取值范圍是．