Question

已知直線l：y＝2x－與橢圓C：＋y²＝1(a＞1)交于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A．

(1)設PQ中點M(x₀，y₀)，求證：x₀＜

(2)求橢圓C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設直線l：y＝2x－與橢圓C：＋y2＝1(a＞1)交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，右頂點A(a，0)，將y＝2x－代入x2＋a2y2－a2＝0中整理得(4a2＋1)x2－4a2x＋2a2＝0 　　 　　∵M(x0，y0)為PQ中點∴x0＝＝＝－故x0＜ 　　(2)依題意：·＝0，則(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝0又y1＝2x1－，y2＝2x2－ 　　故(x1－a)(x2－a)＋(2x1－)(2x2－)＝0由①②代入③得：4a4－4a3－a2＋3＝0 　　∴(a－)(4a2－a－)＝0∵a＞1，則4a2－a－＞0故a＝ 　　故所橢圓方程為＋y2＝1