Question

10．已知實數x，y滿足（x-1）²+y²=1，則2x-y的最大值是2+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 令x-1=cosθ，y=sinθ，利用輔助角公式化簡2x-y為2+$\sqrt{5}$cos（θ+α），其中，tanα=$\frac{1}{2}$，利用余弦函數的最值，得出結論．

解答 解：∵實數x，y滿足（x-1）²+y²=1，故可令x-1=cosθ，y=sinθ，
則2x-y=2+2cosθ-sinθ=2+$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosθ-$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinθ）=2+$\sqrt{5}$cos（θ+α），其中，tanα=$\frac{1}{2}$，
故2x-y的最大值為2+$\sqrt{4+1}$=2+$\sqrt{5}$，
故答案為：$2+\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，輔助角公式的應用，余弦函數的最值，屬于中檔題．