Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ=

4cosθ

sin2θ

，以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數）．
（Ⅰ）把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，把直線l的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把ρ=

4cosθ

sin2θ

即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化為直角坐標方程；消去參數t，即可得出直線的普通方程；
（II）把直線方程與拋物線的方程聯立可得根與系數的關系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：（ I） 由ρ=

4cosθ

sin2θ

得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x；
由

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數），消去參數t，得x+y-1=0；
曲線C的直角坐標方程為y²=4x；直線l的普通方程x+y-1=0；
（ II） 設直線l交曲線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

x+y-1=0 y2=4x

，消去y得，x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1；
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

36-4

=8，
∴直線l被曲線C截得的線段AB的長為8．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線方程與拋物線相交轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．