Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)因式分解為，再對(duì)參數(shù)分類討論可得；

（2）依題意可得，當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，不滿足條件；

當(dāng)時(shí)，由（1）得在為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，.再對(duì)，，三種情況討論可得.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

即.

由，得，.

①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

故在為增函數(shù).

②當(dāng)時(shí)，，

由得或，由得；

所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).

③當(dāng)時(shí)，，

由得或，由得；

所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).

（2）因?yàn)?/span>，所以，

①當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，所以在至多一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，由（1）得在為增函數(shù).

因?yàn)?/span>，.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，；

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，.

故在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，使得，

且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).

所以，又，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.

故當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn).

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，，使得，

且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).

因?yàn)?/span>在有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，

若在有兩個(gè)零點(diǎn)，則在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又，所以即，所以，

即當(dāng)時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，m的取值范圍為