Question

【題目】已知拋物線E：（）的焦點為F，圓C:，點為拋物線上一動點.當時，的面積為.

（1）求拋物線E的方程；

（2）若，過點P作圓C的兩條切線分別交y軸于M，N兩點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據，由拋物線的定義求得，進而得到，再結合，列出關于的方程，即可求得的值，得到拋物線的方程；

（2）設,,且，由圓心到直線PM當距離為1，利用點到直線的距離公式化簡得，同理得到，進而得到為的兩根，求得，得到面積的表達式，利用均值不等式，即可求解.

（1）由題意，拋物線E:（）的焦點為，

圓的圓心C為，

因為，由拋物線的定義可得，解得，

又，所以，

又，即，整理得，

所以或

解得或，

又，所以，所以拋物線方程為.

（2）設,,且，不妨設P在y軸右側，

故直線PM當方程為，即，

由題設知，圓心到直線PM當距離為1，即，

化簡上式得，同理可得，

由上可知為的兩根，

則，且，

所以，

所以，

設,，，

所以面積的最小值.